Sequências e Progressões

1-. No mais alto edifício de Terra Brasilis moram Eduardo e Augusto. O número do andar de Eduardo coincide com o número do apartamento de Augusto. A soma dos números dos apartamentos dos dois é 2164. Calcule o número do apartamento de Eduardo, sabendo que há 12 apartamentos por andar. (Por exemplo, no primeiro andar estão os apartamentos de 1 a 12, no segundo andar estão os apartamentos de 13 a 24 e assim por diante).

2- O decimal 0,101001000100001000001..., em que os 1's são seguidos  sucessivamente por blocos cada vez maiores de 0, parece não ser periódico e  portanto define um número irracional. Construa um argumento que converta essa       impressão em certeza. Sugestão: suponha que o decimal seja periódico.

3- Dois ciclistas partem separados de uma distância de 20 km e seguem um em direção ao outro, cada um pedalando a uma velocidade uniforme de 10 km/h. Ao  mesmo tempo uma mosca, viajando a 40 km/h, parte da roda dianteira de uma bicicleta e vai até a roda dianteira da outra, depois volta para a roda dianteira da primeira e continua para frente e para trás até que as bicicletas colidam e ela seja esmagadas entre as rodas. Quantos quilômetros ela voou ? (A maneira difícil de resolver esse problema é expressar a distância total  como uma série infinita e achar sua soma. Há também uma maneira fácil. Resolva-o das duas maneiras.)

4-. Uma bola de borracha é largada de uma altura H. Cada vez que ela salta, sobe uma altura rh, onde h é a altura do salto anterior e r é constante. Mostre que a  distância total que a bola percorre é H(1+r)/(1-r).